BASEロゴ非表示 Appを利用していればBASEアイコンがなくなりますので、検索アイコンを並べることはスペース的には可能だと思います。

ただそのアイコンをタップした時にどうなるかですが、PC表示だと「左に並ぶメニューを消しながらフォームが現れて伸びる」という仕様ですが、
単にアイコンだけを表示させた後、そこに新しいフォーム表示の仕組みを追加する必要があります。

もちろんそれを設計して作り込んでいくことは不可能ではないのですが、
この場所で簡単なコードをお知らせして解決する、というレベルではないと想像します。
よろしければ一度、想定されている動きなどをお知らせください。