ご回答ありがとうございます！現在HTML編集を始めたばかりのため取り急ぎテーマはSIMPLEを使用しているのですが、やりたいことを実現するためにUNIVERSEへのテーマ変更も検討可能です。

UNIVERSEで同様の埋め込みを実装されているサイトさんがあれば、参考までどういった見え方になるかページを見せていただくことは可能でしょうか？
どうぞよろしくお願いいたします。

UNIVERSEもAPIでの実装ではなく無料外部サービスの利用となりますが、デモサイトはこちらです。
https://universe.base.ec/

デモサイトありがとうございます！検討させていただきます。
いただいたサイトだと、ご自身のインスタグラム の投稿内容を表示するようになっておりますが、他のユーザーの投稿をハッシュタグ抽出して同様に表示させること可能でしょうか？

APIでの実装かどうか、外部サービスの利用かどうかは、セキュリティと費用に影響がなければ特にこだわりございません。

重ね重ねの質問となり恐縮ではございますが、よろしくお願いいたします。

可能か不可能か、という意味では可能だと思います。

それはウェブサイト側ではなくInstagram/facebookのアカウント側での設定や知識が必要となりますので、まずはそちらを十分にお調べいただく方が良いと思います。

https://developers.facebook.com/docs/instagram-api/guides/hashtag-search/

その上で、ご自身でAPI実装するか、または簡単にできる外部サービスを利用するかどうか、を決められると良いと思います。

元々のご質問で漏れていたので補足です。

「トップページにJSのタグなどの埋め込み」について、どのテーマでもHTML編集Appで直接コードを編集できますので、可能かと思います。